“五家共井”问题由来

“五家共井”问题由来

我国最早提出不定方程问题，它是由“五家共井”引起的。在古代还没有自来水，几家合用一个水井是很常见的事。《九章算术》第八章第十三题就是“五家共井”的问题，用现代的话说就是：

五家共用一水井。井深比2条甲家绳长还多1条乙家绳长；比3条乙家绳长还多1条丙家绳长；比4条丙家绳长还多1条丁家绳长；比5条丁家绳长还多1条戊家绳长；比6条戊家绳长还多1条甲家绳长。如果各家都增加所差的另一条取水绳索，刚刚好取水。试问井深、取水绳长各多少？

虽然该问题是虚构的，但它是最早的一个不定方程问题。

用现代符号，可以设甲、乙、丙、丁、戊各家绳索长分别为x、y、z、u、v，井深为h。根据题意，可得

这是一个含有6个未知数和5个方程的方程组。未知数的个数多于方程个数的方程或方程组叫不定方程。用加减消元法可得

给定h不同的数值，就可以得到x、y、z、u和v的各个不同的数值。只要再给定一些特定条件，就可得到确定的组解。原书中只给出一组解，是最小正整数解。

“五家共井”问题，曾引起世界上很多数学家的关注。在西方史书中，最早研究它的是希腊数学家丢番图，比我国迟了200多年。