人龟赛跑“雾里看花”

人龟赛跑“雾里看花”

古希腊的传说中有个叫阿基里斯的英雄，他是一个奔跑速度非常快的天神。而当时有一位叫芝诺的哲学家却说阿基里斯跑得再快，也追不上一只慢吞吞的乌龟，这又是怎么回事呢？

芝诺说：“让阿基里斯和乌龟举行一场赛跑，让乌龟在阿基里斯前面1000米开始。假定阿基里斯跑得速度比乌龟快10倍，当阿基里斯跑了1000米时，这时乌龟跑了100米，这就是说乌龟仍然在阿基里斯前面100米。当阿基里斯跑了下一个100米的时候，乌龟依然在他前面10米。阿基里斯再跑10米，乌龟又在他前面1米……阿基里斯能够继续逼近乌龟，但他绝不可能追上它。”

大家一定认为芝诺的话有问题，因为一个人跑得那么快怎么可能追不上一只乌龟呢？那么，谁能说出不对的地方呢？

在阿基里斯追赶乌龟的整个过程中，阿基里斯到达了的新的位置时，乌龟也会到达一个更新的位置。于是，在这个过程中，阿基里斯与乌龟都会到达无穷多个位置，把他们每两个相邻位置之间的距离全部加起来，就是在阿基里斯追赶乌龟的过程中他们二者分别跑过的总路程：

阿基里斯跑过的总路程是1+0.1+0.01+0.001+…=10/9（千米）

乌龟跑过的总路程是0.1+0.01+0.001+…=1/9（千米）

然而芝诺犯了一个错误：他把阿基里斯追赶乌龟的位置变化过程和时间变化过程混为一谈了。

阿基里斯在追赶乌龟时所经过的“1千米+0.1千米+0.01千米+0.001千米+……”这个看似无穷的过程其实不需要很长的时间。假设这位英雄跑10/9千米所用的时间为5分钟，也就是说阿基里斯追赶乌龟的无穷的过程只需要5分钟就完成了，那么在5分钟内芝诺的说法成立。但是在5分钟之后，就不会再有这样的情况发生了，如果阿基里斯继续跑的话，他很快就会把乌龟甩得远远的。