有趣的“欧拉问题”

有趣的“欧拉问题”

无独有偶，和牛顿一样，大数学家欧拉也很重视数学教育。他经常亲自到中学去讲授数学知识，也为学生编写数学课本。尤其感人的是，1770年，年迈的欧拉双目都已失明了，仍然念念不忘给学生编写《关于代数学的全面指南》。这本著作出版以后，很快就被译成多种外国文字，直到20世纪，有些学校仍然用它作基本教材。

为了搞好数学普及教育，欧拉潜心研究了许多初等数学问题，还编了不少有趣的数学题呢！也许因为欧拉是历史上最伟大的数学家之一，这些题目流传特别广。例如，在各个国家的数学课外书籍里，都能见到下面这道叫做“欧拉问题”的数学题。

两个农妇共带了100只鸡蛋去集市上出售。两人的鸡蛋数目不一样，赚的钱却一样多。第一个农妇对第二个农妇说：“如果我有你那么多的鸡蛋，我就能赚15枚铜币。”第二个农妇回答说：“如果我有你那么多的鸡蛋，我就只能赚枚铜币。”

问两个农妇各带了多少只鸡蛋？

历史上，像这样由对话形式给出等量关系的题目并不少见。例如在公元前3世纪时，古希腊数学家欧几里得曾编了一道驴和骡对话的习题：

驴和骡驮着货物并排走在路上，驴不住地抱怨驮的货物太重，压得受不了。骡子对它说：“你发什么牢骚啊！我驮的货物比你更重。如果你驮的货物给我1口袋，我驮的货物就比你重1倍；而我若给你1口袋，咱俩才刚一般多。”

问驴和骡各驮了几口袋货物？

12世纪时，印度数学家婆什迦罗也曾编了一道类似的习题：

某人对一个小朋友说：“如果你给我100枚铜币，我将比你富有2倍。”小朋友回答说：“你只要给我10枚铜币，我就比你富有6倍。”问两人各有多少铜币？

但是，“欧拉问题”却编出了新意，由于两种假设的结果无倍数关系可言，使得题目中蕴含的等量关系更加难觅行踪，解题途径与上述两题也不相同。

下面是欧拉提供的一种解法。

假设第二个农妇的鸡蛋数目是第一个农妇的m倍。因为最后两人赚得的钱一样多。所以，第一个农妇出售鸡蛋的价格必须是第二个农妇的m倍。

如果在出售之前，两个农妇已将所带的鸡蛋互换，那么，第一个农妇带的鸡蛋数目和出售鸡蛋的价格，都将是第二个农妇的m倍。也就是说，她赚得的钱数将是第二个农妇的m2倍。

于是有。

舍去负值后得m=3/2，即两人所带鸡蛋数目之比为3∶2。这样，由于鸡蛋总数是100，就不难算出题目的答案了。

想出这种巧妙的解法是很不容易的，连一贯谨慎的欧拉也忍不住称赞自己的解法是“最巧妙的解法”。