有趣的斐波拉契数列

有趣的斐波拉契数列

13世纪初，欧洲最好的数学家斐波拉契写了一本叫做《算盘书》的著作，它是当时欧洲最好的数学书。书中有许多有趣的数学题，其中最有趣的当属下面这个题目：

“如果一对兔子每月能生产1对小兔子，而每对小兔在它出生后的第3个月里，又能开始生1对小兔子，假定在不发生死亡的情况下，由1对初生的兔子开始，1年后能繁殖成多少对兔子？”

推算一下兔子的对数是很有意思的。为了叙述的方便，我们假设最初的一对兔子出生在头一年的12月份。显然，1月份里只有1对兔子；到2月份时，这对兔子生了1对小兔，总共有2对兔子；在3月份里，这对兔子又生了1对小兔，总共有3对小兔子；到4月份时，2月份出生的兔子开始生小兔了，这个月共出生了2对小兔，所以共有5对兔子；在5月份里，不仅最初的那对兔子和2月份出生的兔子各生了1对小兔，3月份出生的兔子也生了1对小兔，总共出生了3对兔子，所以共有8对兔子……

照这样继续推算下去，当然能够算出题目的答案，不过，斐波拉契对这种方法很不满意，因为它稍一不慎就会出现差错。于是他又深入探索了题中的数量关系，它把推算得到的头几个数摆成一串。

1、1、2、3、5、8……

这串数里隐含着一个规律，从第三个数起，后面的每个数都是它前面那两数的和。而根据这个规律，只要作一些简单的加法，就能推算出以后各个月兔子的数目了。这样，要知道1年后兔子的对数是多少，也就是看这串数的第十三个数是多少。由5+8=13，……55+89=144，89+144=233，题目的答案是233对。

按照这个规律推算出来的数，构成了数学史上一个有名的数列。大家都叫它“斐波拉契数列”。这个数列有许多奇特的性质，例如，从第三个数起，每个数与它后面那个数的比值，都很接近0.618，这正好和大名鼎鼎的“黄金分割律”相吻合。