残杀战俘的数学故事

残杀战俘的数学故事

在一次战争中，64名战士被俘虏了。敌人命令他们排成一个圆圈，分别编上1、2、3、4……64的号码。然后，从1号开始残杀，接着是3号、5号……隔一个杀一个。这样转着圈杀，最后剩下一个人，这个人就是约瑟夫斯。请问：约瑟夫斯是多少号？

敌人从1号开始，隔一个杀一个，就是第一圈把奇数号码战士全杀死了。剩下32名战士需重编号，而第二圈杀死的是重新编排的奇数号码。第一圈剩下全部是偶数号2、4、6……64。因为先前64名战士已经被杀害一半，所以剩下的人是64除以2，共32个人，他们重新编的号码是1、2、3……32。而第二圈杀过之后，又把这一次编成的奇数号码的战士全都杀掉了，还剩下16个人。这样一直到最后，剩下的必然是一开始的64号，所以答案是约瑟夫斯是64号。

再把问题改一下：不让战俘站成圆圈，而排成直线，再编上号码。从1号开始，隔一个杀一个，杀过一遍之后，然后再重新编号，从新1号开始，再隔一个杀一个，问最后剩下的还是64号约瑟夫斯吗？答案是肯定的。

如果战俘人数是65人呢？这回剩下的还是约瑟夫斯。只要人数不超过128，那么最后剩下的总是约瑟夫斯。因为从1到128中间，能被整除次数最多的就是64。而敌人每次都是杀奇数号，留偶数号，所以64号总是最后被留下的人。